¿Que es la geometría tropical?

¿Que es la geometría tropical?

  julio 07, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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La geometría tropical es una rama reciente de las matemáticas, la cual se centra en el estudio de las variedades algebraicas definidas sobre el denominado semianillo tropical $\mathbb{R}_{min}=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$, el cual es creado a partir del álgebra minplus ( aunque algunos textos lo definen mediante el álgebra maxplus) en el cual la suma usual de números reales es el mínimo y el producto es la suma usual.

La característica mas relevante es que sustituye los objetos de la geometría clásica ( rectas, cónicas, superficies) por complejos
poliedrales, los cuales son una sombra de los objetos  clásicos ya que preserva ciertas propiedades al trasladarse de la geometría clásica a la geometría tropical, por lo que algunos problemas que pueden ser complicados o de solución desconocida en la geometría clásica, pueden ser trabajados en el espacio tropical, lo cual amplia las herramientas con las que cuenta el matemático ala hora de enfrentarse a cierto problema.

El adjetivo tropical se debe al hecho de que uno  de los precursores, Imre Simon era de Brasil, en donde se refleja la opinión que se tiene acerca de este país.

Álgebra tropical

Consideremos el conjunto de los numeros reales $\mathbb{R}$ dotado de las siguientes operaciones:

                                $x\oplus y=min\{x,y\}$      $x\odot y=x+y$

Ejemplo:

$3\oplus 4=min\{3,4\}=3$               $3\odot 4= 3+4 =7$

Para todo $x,y\in \mathbb{R}$ es fácil verificar que estas dos operaciones son conmutativas, asociativas y $\odot$ es distributiva con respecto a $\oplus$.

El elemento neutro en la operación $\odot$ es el $0$,  ya que  $x\odot 0=x+0=x$, pero la operación $\oplus$ carece de elemento neutro en  $\mathbb{R}$ por tanto se considera la extensión $\mathbb{R}_{min}=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ y se verfica que  $x\oplus +\infty=min\{x,+\infty\}=x$, por lo tanto el elemento neutro para $\oplus$ es $+\infty$.

Pero se preguntaran porque se denomina semianilo tropical y no anillo tropical, la respuesta es que la operación $\oplus$ no es invertiva, ya que por ejemplo la ecuación $3\oplus x=+\infty$ no tiene solución para ningun $x\in \mathbb{R}$, ya que $min\{3,x\}$ no sera igual $+\infty$ para ningún valor de $x$.

Por lo cual la tripleta $(\mathbb{R}_{min},\oplus,\odot)$ es denominado semianillo tropical.