Formula general para ecuaciones cubicas: Método de Cardano ~ Mathplus

Formula general para ecuaciones cubicas: Método de Cardano

enero 07, 2018 Danilo Jose Polo Ojito

Una ecuación cubica o de tercer grado, es aquella que posee una incógnita en la cual el mayor grado de sus exponentes es 3 y se puede escribir de la forma:
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$
Donde a,b,c,d son números reales (complejos) y a es diferente de cero.
Los primeros esfuerzos por establecer un método general para resolver ecuaciones cubicas se remonta a la antigüedad clásica, con el problema de Delfos o de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo que implicaban el empleo de ecuaciones cúbicas.
En el siglo XVI Niccolo Fontana ( Tartaglia)  gana una competencia pública de matemática a Antonio María del Fiore. El tema de la competencia era la solución de la ecuación de tercer grado, que no pudieron los árabes, los indios ni los griegos resolver en su momento. Fiore sabía cómo resolver la ecuación cúbica de la forma:

$x^{3}+px+q=0\,$
mulas de solución las recibió de Scipione del Ferro como un secreto. Pero Tartaglia aún antes en 1530 había hallado la solución de un caso particular, pero mas tarde en 1535 descubrió el método de Ferro y mediante una sustitución logro generalizar la regla para cualquier ecuación cubica.
En 1539 Gerónimo Cardano, científico italiano, solicitó a Tartaglia mostrarle la fórmula y prometió no publicar jamás. Pese a eso seis años después, en 1545 Cardano publicó la fórmula resolutoria en su obra Ars magna sive de regulis algebraicis, citando a Tartaglia como autor, provocando reclamos del creador y desencuentros con el publicador arbitrario. Como consecuencia a toda esta revuelta la formula general para resolver ecuaciones cubicas recibe el nombre del método de Cardano, pese a que el descubridor fue Tartaglia.

Demostración de la formula general
Primero consideremos una ecuación cubica de la forma:
$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ Con $A,B,C,D$ números reales y $A\neq 0$ .
Como $A\neq 0$ , dividamos la ecuación entre $A$ y nos queda de la forma:
$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ , con $a=\frac{B}{A},\hspace{0.1cm} b=\frac{C}{A},\hspace{0.1cm}c=\frac{D}{A}$
Luego sustituyendo a $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ , nos queda:

$(z-\frac{a}{3})^3+a(z-\frac{a}{3})^2+b(z-\frac{a}{3})+c=0\\ \rightarrow z^3-az^2+\frac{a^2}{3}z-\frac{a^3}{27}+az^2-\frac{2a^2z}{3}+\frac{a^3}{9}+bz-\frac{ab}{3}+c=0\\ \rightarrow z^3+(\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{3}+b)z-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c=0\\ \rightarrow z^3+(b-\frac{a^2}{3})z+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0$
Finalmente tomando a   $p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$ y   $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.$ queda que:
$z^3 +pz + q=0,$
Se realiza una sustitución del tipo $z=u+v$ , entonces:
$z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}.$
luego $z^3=3uvz+u^3+v^3$ , pero como $z^3 +pz + q=0,$ por transitividad en los coeficientes nos queda que:
${\begin{cases}-p=3uv\\-q=u^{3}+v^{3}\end{cases}}$
Que también es equivalente al sistema de ecuaciones
$u^{3}+v^{3}=-q$ (1) $u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ (2)
Sustituyendo u en (1) queda que:    $u^3=-q-v^3$ y reemplazando en (2) se obtiene:
$v^3(-q-v^3)=-\frac{p^3}{27}\\\rightarrow -qv^3-v^6=-\frac{p^3}{27}\\\rightarrow v^6+qv^3-\frac{p^3}{27}=0$
Análogamente se obtiene que $u^6+qu^3-\frac{p^3}{27}=0$
Las ecuaciones anteriores se pueden resolver fácilmente utilizando la formula general para ecuaciones de segundo grado y queda que:
$u^3=\frac{-q\pm \sqrt[2]{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}$ y $v^3=\frac{-q\pm \sqrt[2]{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}$
Luego

$u=\sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt[2]{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$

y $v=\sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt[2]{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$

De esta manera, se calcula el discriminante $\Delta =q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}\,$ y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.
Dado que $z=u+v$ , entonces:
$z=\sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}$
Luego

$z_3=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}$

$z_1=2\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}\\. \hspace{0.5cm} z_2=2\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac{4p3}{27}}}{2}}$

Así $x_1=z_1-\frac{a}{3} \hspace{1cm} x_2=z_2-\frac{a}{3} \hspace{1cm} x_3=z_3-\frac{a}{3}$
Serian las 3 respectivas soluciones y aplicable para resolver cualquier ecuación cúbica.

Mathplus

Siguenos en Facebook.

Formula general para ecuaciones cubicas: Método de Cardano

2 comentarios:

Translate

Lo mas reciente

Solutionary: The geometric phase in quantum systems

Popular Posts

Latex