Espacio topologico.
Un espacio topologico es una estructura matematica que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad continuidad, vecindad, usando subconjutos de un conjunto dado. La definición formal de espacio topologico que actualmente conocemos tardo muchos años en ser formulada, matemáticos como Haussdorff. Frechet entre otros, propusieron distintas definiciones
a lo largo de las primeras décadas del siglo XX, pero fue varios años mas tarde donde se estableció la definición que actualmente se considera la mas adecuada. La definición formal al inicio suele parecer bastante abstracta, pero a partir de la construcción de diferentes espacios topologicos se tendrá una mejor visión del concepto.
Definición: Una topología sobre un conjunto $X$ es una colección $\tau$ de subconjuntos de $X$ con las siguientes propiedades:
1. $\emptyset$ y $X$ estan en $\tau$
2. Si $A,B\in$ $\tau$ entonces $A\cap B\in$$\tau$
3. La unión arbitraria de cualquier subcolección de $\tau$ esta en $\tau$.
Un conjunto $X$ para el cual se ha definido una topología $\tau$ se denomina espacio topologico.
Ejemplo 1: Sea el conjunto $X = \{a, b, c\}$ , y $\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X\}$, entonces $(X, \tau)$ es un espacio topológico.
Ejemplo 2: Para cualquier conjunto $X$ no vacío y $\tau=\{\emptyset, X\}$ se denomina la topología trivial o indiscreta de $X$ y la colección de todos los subconjuntos de $X$, es una topología sobre X denominada la topología discreta.
Ejemplo 3 (Topología de Sierpinsky): Dado el conjunto $X= \{a,b\}$ la familia de subconjuntos de $X$, $\tau= \{\emptyset,\{a\}, X\}$ se llama la topología de Sierpinski y el par $(X,\tau)$ se denomina el espacio de Sierpinski.
Ejemplo 4 (Topología cofinita): La topologia cofinita o de los complementos finitos, es cualquier topologia construida sobre un conjunto no vacio $X$, en donde el complemento de los abiertos es finito. Formalmente esta definida de la siguiente manera:
$\tau=\{U\subseteq X/ U^c es finito\}\cup \emptyset$
Una de las características mas importantes es que si $X$ es finito, entonces la topología cofinita coincide con la topología discreta.
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