Números factoriales: ¿Sabes como calcular 0.5 factorial?. ~ Mathplus

Números factoriales: ¿Sabes como calcular 0.5 factorial?.

julio 29, 2017 Danilo Jose Polo Ojito

Tabla de factoriales.

El factorial de un número natural

, leído como el factorial de

factorial, se define en principio como el producto de todos los números naturales desde

hasta

, de la siguiente forma:
$n!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n$
Por ejemplo,
$5!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120.$
Para el caso particular de

, lo definimos como

.

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de

representa el número de formas distintas de ordenar

objetos distintos sin ninguna repetición.
Pero se han preguntado ¿es posible calcular

?, la respuesta es si, ya que la definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente el conocimiento de la función gama la cual es una generalización de los números factoriales extendiendo el concepto incluso a los números complejos, así que primero veamos la definición formal de la función gamma.

$\Gamma(n) =(n-1)!$

La función gama denotada $\Gamma(z)$ es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue propuesta por Adrien Marie Legendre y esta definida de la siguiente forma:

$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt$

Si la parte real del número complejo es positiva entonces la integral converge absolutamente y puede ser extendida a todo el plano complejo excepto para los enteros negativos, y si

es un entero positivo se tiene que $\Gamma(n) =(n-1)!$ lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de

.
Ahora consideremos el calculo de

mediante la función gama, dado que $\Gamma(n) =(n-1)!$ entonces

Con la cual se verifica mediante la función gama que

, ahora calculemos el valor de $(0.5)!$.

$1!=(2-1)!=\Gamma(2)\\ =\int_0^\infty t^{2-1} e^{-t}\,dt\\ =\int_0^\infty t^{1} e^{-t}\,dt\\ =\int_0^\infty te^{-t}\,dt\\ =-te^{-t}]_0^\infty-e^{-t}]_0^\infty\\ =-(0-0)-(0-1)=1\\$

Como

$(0.5)!=(1.5-1)!\\ =\Gamma(1.5)\\ =\int_0^\infty t^{1.5-1} e^{-t}\,dt\\ =\int_0^\infty t^{0.5} e^{-t}\,dt$

tomando a

, entonces

, sustituyendo queda que
$\int_0^\infty t^{2-1} e^{-t}\,dt=\int_0^\infty y e^{-y^2}2y\,dy\\ =2\int_0^\infty y^2 e^{-y^2}\,dy\\ =2(\frac{-y e^{-y^2}}{2}]_0^\infty+\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-y^2}\,dy)\\ =2[(0-0)+\frac{1}{4}(\sqrt{\pi} -0)]\\ =2[\frac{1}{4}\sqrt{\pi}]=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
Por lo tanto $(0.5)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Algunos factoriales de "semienteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

y satisfacen la condición de que

, por ejemplo:
$\frac{3}{2}!=\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}!$
¿Puedes averiguar cuánto es $\left ( \frac{7}{2}\right )$ ?

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