LA CONJETURA DE POINCARÉ

LA CONJETURA DE POINCARÉ

  agosto 14, 2018    Unknown

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Henry Poincare.

En una 2-esfera (esfera en un espacio de tres dimensiones, es decir una pelota de fútbol del tipo de la Jabulani), cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. Esta condición caracteriza la 2-esfera. La conjetura de Poincaré extiende este hecho a la 3-esfera en la cuarta dimensión, más difícil de visualizar y que no fue demostrada sino hasta el siglo XXI. Entre 1961 y 1986 se demostraron los casos equivalentes para 5, 6 y más de 7 dimensiones, pero el de la cuarta dimensión, justamente el caso de la conjetura de Poincaré se resistía a ser demostrado.


La Conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdadera relevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman.
En el siglo XIX se observó que en R^3 toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera, por lo que podemos afirmar que topológicamente sólo hay una variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa que es la esfera.

El enunciado preciso de la Conjetura de Poincaré es:
“Una variedad tridimensional cerrada con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional”. Parece una sencilla afirmación y es difícil de imaginar un contraejemplo, pero las demostraciones detalladas que se fueron produciendo en el siglo XX resultaron incompletas o erróneas. Si generalizamos la Conjetura de Poincaré a la esfera de dimensión n en un espacio de dimensión n+1, tenemos que para n=1 es evidente la demostración y para n=2 ya se ha mencionado que fue demostrada en el siglo XIX. En 1961 Pieter Zeeman lo demostró para n=5 y ese mismo año el estadounidense Stephen Smale la demostró para n 7. El caso n=6 fue demostrado por John R. Stalling en 1962 y ya hubo que esperar hasta 1986 para que el estadounidense Michael Hartley Freedman la demostrara en el caso n=4, lo que le valió conseguir una Medalla Fields en 1986. Curiosamente, el caso n=3 que es precisamente el que corresponde a la Conjetura de Poincaré, ha sido el que más se ha resistido a su demostración.

Grigori Perelman.

Perelman anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet. Finalmente, se reconoció su trabajo cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual él mismo rechazó, supuestamente por estar disgustado por el hecho de que algunos aún discuten sobre lo acertado o no de su demostración. De hecho, varios matemáticos especializados en el tema, como Shing-Tung Yau, alegaron que la Conjetura ya había sido resuelta con anterioridad. No obstante, Yau reconoció en una entrevista de prensa el talento de Grigori Perelman.
La demostración de la Conjetura de Poincaré requiere unos importantes conocimientos de topología, geometría diferencial, cálculo, ecuaciones diferenciales e incluso de la teoría de la relatividad, inalcanzables para Poincaré en su tiempo. Podemos ver en este caso como las matemáticas, aún teniendo numerosas ramas y especializaciones, se alían a la vez para poder corroborar un enunciado exclusivamente topológico, y como la resolución de un problema mítico, como es la Conjetura, conlleva numerosos avances en el campo de la Ciencia y, consecuentemente, para toda la Humanidad.