La identidad de Euler: La mas bella de la historia.
El gran Euler reconocido en el mundo científico por ser uno de los mayores genios matemáticos y prolíficos de todos los tiempos, quién hizo la formulación del número "e" la base exponencial, es el descubridor de la considerada ecuación más bella del mundo.
La fórmula de Euler es una elegante ecuación cuya belleza radica en su su extraordinaria sencillez y en el hecho de que se podría decir que en ella está resumida casi toda la matemática, puesto que reúne sus cinco entidades fundamentales:
- 1 – la base de todos los números
- 0 – el concepto de la nada
- pi – el número que define al círculo, de gran relevancia en la geometría.
- e – el número que subraya el crecimiento exponencial, trascendental en el análisis matemático.
- i – la raíz cuadrada "imaginaria" de -1, importante en el álgebra.
Y la belleza de todas estas cuestiones es la misma que pueda tener una obra de Shakespeare o un cuadro de Monet… con la diferencia de que la Identidad de Euler seguirá siendo cierta cuando todos los cuadros y libros se hayan quemado"
Son distintas las formas de demostrar esta ecuación, en Mathplus le presentaremos una de la más delicada y sencilla forma.
Demostración de identidad de Euler:
Inicialmente a partir de las series de Taylor se define: (i), (ii) y (iii).
Si en (i) sustituimos $x$ por z·i, Si consideramos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, etc.
Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:
Sustituyendo (ii) y (iii) tenemos:
Sustituyendo z por $\pi$, y sabiendo que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,
Finalmente se obtiene la hermosa ecuación de la cual es objeto este post.
ei · π + 1 = 0.
Esta maravillosa ecuación tiene aplicaciones prácticas, para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.
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