Geometría diferencial: La geometría del espacio-tiempo

Geometría diferencial: La geometría del espacio-tiempo

  diciembre 28, 2017    Danilo Jose Polo Ojito

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Poco después de que  Lobatchevsky  y  Bolyai  dieran a conocer su cuestionamiento a  el  V  postulado de Euclides, surgiendo así la primera geometría no Euclidiana ( Geometría hiperbólica), Bernhard  Riemann  (1826-1866)  presentó  un  enfoque  nuevo  sobre  geometrías  no  euclidianas,  originada en  una  concepción  de geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas y en los que se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro. Riemann estaba interesado no sólo en espacios de dos o tres dimensiones , sino además estaba interesado en la caracterización mucho más general de espacios n-dimensionales dotados de una métrica relativa al punto de localización en el espacio, donde la métrica es quien determina las geodésicas, es decir las lineas mas cortas entre dos puntos.

Nos situamos así en una nueva concepción de la geometría, la cual paso a convertirse en uno de los mas grande logros de la matemática contemporánea: La geometría de variedades, la cual  penetra de la mano de Einstein a la física, conduciendo esto a su vez a otro de los grandes descubrimientos del siglo XX: La relatividad general. 
 La  nueva  concepción  no es otra  que  una  generalización  natural  de  la  geometría analítica,  donde  los sistemas  de  referencia  no  están  definidos ya sobre la totalidad  del espacio, y donde  se permite  a  los  cambios  de  coordenadas  que  vengan  dados  por funciones  reales  de  cierto  tipo  general, es decir, se considera sobre un conjunto  dado  $M$ (el  espacio) una  familia  'F= $\{  (S_¡, V_i)\}$  (los sistemas de  referencia  locales), donde cada uno de ellos es una correspondencia  biunívoca, $S_i$, de un subconjunto $V_i$ de M sobre un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$  , de tal manera que la colección $\{U_i\}$  cubre M; para cada pareja  $(S_i, U_i)$ y $(S_j,  U_j)$ de miembros de 'F, la aplicación   $S_i$o $S_j$  (el cambio de coordenadas)  viene  definida  por  n funciones  reales  de  una cierta  clase  (por  ejemplo:  continuas,  diferenciables,  analíticas,  etc.)  .  Se llega así,  bajo  el más puro  estilo cartesiano,  al concepto general de  variedad (topológica,  diferenciable,  analítica, etc.,según  la naturaleza de las funciones  que definen  los cambios  de  coordenadas)  con  un  número  arbitrario,  n,  de dimensiones.
En posesión del nuevo marco geométrico, el nacimiento de la denominada geometría diferencial, la cual se ocupa del estudio de los objetos geométricos sobre variedades diferenciales, tiene gran coincidencia con la nueva física que se estaba desarrollando de la mano de Einstein, que tiene como principal objeto el estudio de los campos sobre el espacio tiempo. La coincidencia  de  partida  no  puede  ser  mayor  si  se  tiene en cuenta  la identificación  que a su vez hizo Einstein de los campos  físicos  con  los  tensores  que,  como  se sabe,  son los objetos  geométricos  más simples  de los que están dotadas  las variedades  diferenciables. Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura.

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Los 3 tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidiana de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.

Basándose en las ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo varia de un punto a otro en función de la gravedad, por lo cual es necesario la adopción de una geometría con curvatura variable, en donde el nuevo enfoque  geométrico de Riemann es el ideal, considerando al espacio-tiempo una variedad diferenciable de dimensión 4 ( 3 dimensiones espaciales y 1 temporal), donde la curvatura es medida mediante el tensor de Riemann representado generalmente por el símbolo  . En una geometría riemanninana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias y ángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.