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Números factoriales: ¿Sabes como calcular 0.5 factorial?.


 

Tabla de factoriales
Tabla de factoriales.
El factorial de un número natural , leído como el factorial de  o  factorial, se define en principio como el producto de todos los números naturales desde   hasta , de la siguiente forma:

Por ejemplo,

Para el caso particular de , lo definimos como .

 La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de  representa el número de formas distintas de ordenar  objetos distintos sin ninguna repetición.
Pero se han preguntado ¿es posible calcular ?, la respuesta es si, ya que la definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente el conocimiento de la función gama la cual es una generalización de los números factoriales extendiendo el concepto incluso a los números complejos, así que primero veamos la definición formal de la función gamma.

          

La función gama denotada  es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue propuesta por Adrien Marie Legendre y esta definida de la siguiente forma:

Si la parte real del número complejo es positiva entonces la integral converge absolutamente y puede ser extendida a todo el plano complejo excepto para los enteros negativos, y si  es un entero positivo se tiene que  lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de .
Ahora consideremos el calculo de mediante la función gama, dado que   entonces

Con la cual se verifica mediante la función gama que , ahora calculemos el valor de $(0.5)!$.
Como
  tomando a , entonces , sustituyendo queda que

Por lo tanto  

Algunos factoriales de "semienteros" son:
nn!
(-½)!√π
(½)!(½)√π
(3/2)!(3/4)√π
(5/2)!(15/8)√π
y satisfacen la condición de que , por ejemplo:
 
¿Puedes averiguar cuánto es ?


17 comentarios:

  1. Este blog ha sido eliminado por un administrador de blog.

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  2. Muchas gracias por compartir, es algo muy interesante. La calculadora me marca error con factoriales de números decimales.

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    1. Algunas calculadoras no están programadas para calcular factoriales decimales por eso ocurre eso, me place saber que te gusto el post si quieres que escriba acerca de algo me gustaria escuchar su sugerencia, saludes.

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  3. Se me había olvidado las integrales definidas, pero gracias por compartir


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  4. Very well Explained, Thanks for sharing very informative article.

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  5. Muy bien, muchas gracias.

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