Las series diabólicas de Ramanujan.
Una serie matemática es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de una secuencia, es decir, es la suma de los términos de una sucesión, denotada de la siguiente manera:
Dada una secuencia
entonces la serie asociada a esta secuencia esta dada por:
Donde n es el limite superior y 1 el limite inferior.
Las series pueden ser infinitas o finitas dependiendo del limite superior, ya que si n es un número entero positivo cualquiera la seria es finita y si n
la serie es infinita, debido a que poseerá infinitos términos.Las series infinitas son de gran importancia en análisis matemático y su estudio consiste en analizar el comportamiento de un numero finito de términos de la serie para así poder predecir el comportamiento a medida que sumamos mas términos empleando el limite como herramienta esencial, para así determinar si la serie es convergente o divergente.
Pero existe extraños resultados cuando la serie diverge, es decir, cuando la suma de todos los términos es infinita o no tiene un limite fijo, por ejemplo:
Es decir que el resultado de sumar infinitamente todos los números naturales es:− 112
Es difícil no quedar perplejo al observar este resultado, ya que entra en contradicción con nuestros saberes matemáticos previos y lo primero que nos formulamos es ¿Pero como puede ser esto posible?,¿ como la suma de números naturales puede dar un numero fraccionario y negativo?, ¿ a quien rayos se le ocurrió esto?Aparentemente, nadie en su sano juicio se atrevería a asignar un valor finito a la infinita suma de los números naturales, sin embargo Ramanujan fue capaz de asignar un valor finito a esta suma infinita y de darle una demostración enormemente sencilla, así que veamos como llego a este resultado.
Consideremos primero la siguiente serie:
Luego
Entonces
y despejando queda que:
Así que la suma
Ahora consideremos la serie:
Luego
Por lo tanto
Finalmente tomemos la serie
Luego
Por lo tanto nos queda que
Sustituyendo el valor de
Después de reflexionar sobre este resultado nos queda la impresión de que solo se trata de un truco matemático e incluso hasta hace poco este resultado solo era una especie de juego matemático, Sin embargo, cálculos más sofisticados realizados con herramientas matemáticas más modernas como el método del exponencial regulador o usando la función zeta de Riemann han llegado exactamente al mismo resultado. Además, aunque parezca increíble, este resultado posee gran aplicación en la teoría de cuerdas y ha sido constatado experimentalmente en varios experimentos basados en la mecánica cuántica, lo que nos muestra que el mundo de la Física y de las Matemáticas están profundamente entrelazados.
Este resultado verifica nuevamente que la realidad es mucho mas compleja de lo que imaginamos.
Podrias demostrar que:
Sea S = 1+2+4+8+16+...
ResponderBorrarEntonces S = 1+2.(1+2+4+8+16+...)
Por lo tanto S = 1 + 2.S
S = -1
Excelente
BorrarPor favor, cita las referencias bibliográficas respectivas. Gracias. Nota: Libros o papers. No páginas web.
ResponderBorrarEl error es básicamente decir : S= 1 - 1 + 1 - 1 + ... .
ResponderBorrarla serie (1 - 1 + 1 - 1+...) es una serie divergente, según donde se corte puede tomar : 0 ó 1. Al ser una serie divergente , se esta cometiendo un error al decir que la serie es exactamente igual a S (como si convergiera). De ahí para allá solo se esta propagando un error de la hipótesis.
El sumatorio de ramanujan, o la sumación de Césaro, que para esta serie 1 - 1 + 1 - 1+... es -1/2, tratan el problema de series divergentes desde otra perspectiva, en términos de la convergencia de la sucesión de sumas parciales. La existencia de este valor para los criterios de ramanujan y Césaro no implica que la serie inicialmente considerada sea convergente, es decir, la suma inicial sigue siendo divergente, y la interpretación del numero "-1/2" tiene sus propios conceptos bajo cada técnica de análisis. Entoncees, -1/2 no corresponde a la suma simple de todos los números naturales. Saludos.
correcto amigo
Borrareso lo explica todo.
BorrarHola Danilo, explicame por favor la parte cuando desarrollas s2, porque razon dices que 2s2 es igual a esa suma de dos series que estan como ”desfasadas en una posicion” por decirlo de alguna manera... gracias y felicitaciones
ResponderBorrarHola gabriel, no están desfasadas las posiciones, lo que sucede es lo siguiente.
Borrar2S2=S2+S2 ahí vamos sumando dejando al 1 quieto de la primera, y proceder iterativamente el segundo con el primero, el tercero con el segundo asi sucesivamente, por eso lo coloco de esa forma, desfasadas como mencionaste arriba. saludes
No lo sé Rick
ResponderBorrar