Historia y definición de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada.
para cada variación de la magnitud 
de la variable independiente con respecto a el valor inicial 
, el cociente diferecial 
es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos 
y 
. Así la derivada en el punto es el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto sobre la gráfica se toma cada vez más cercano al punto inicial .En los términos geométricos anteriores, la derivada de
en el punto coincide con la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en el punto . Por lo contrario, el que la función no posea derivada en el punto significa que la curva que define la gráfica
de la función no tiene recta tangente en el punto .
en el punto 
.
En el caso en el que 
sea una función de posición, la derivada en un
instante 
es el número al cual tienden las velocidades medias en intervalos de la
forma 
cuando la duración del intervalo tiende a cero, y se interpreta
como la velocidad instantánea en . Dicho de otra manera, la velocidad instantánea
en el instante es el límite de las velocidades promedio tomadas sobre intervalos
de tiempo alrededor de con duración cada vez más y más pequeña.La derivada como razón de cambio.
La derivada de una función real de variable real es el concepto que da sentido matemático a la razón de cambio puntual o
movimiento instantáneo. Tomando en cuenta que, en una función, a cada variación
de la variable independiente con respecto a un valor , corresponde una
variación de la variable dependiente con respecto al valor 
, la
derivada define la razón de cambio puntual (o instantáneo) en como el
límite de los cocientes de las variaciones de esas variables cuando la
variación de la variable independiente tiende a cero. En el caso de la función
de posición de un cuerpo físico con respecto al tiempo, la derivada corresponde
a la noción de velocidad instantánea, que así resulta definida como el límite
de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duración
tiende a cero. Las características de la derivada hacen de ésta el concepto adecuado
para la formulación de las leyes dinámicas en las ciencias naturales. Por otro
lado, para la curva en el plano cartesiano que define la gráfica de una
función, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto correspondiente, obteniéndose así una interpretación
geométrica para la derivada que sienta las bases para el estudio analítico de
curvas y superficies.
es el concepto que da sentido matemático a la razón de cambio puntual o
movimiento instantáneo. Tomando en cuenta que, en una función, a cada variación
de la variable independiente con respecto a un valor , corresponde una
variación de la variable dependiente con respecto al valor , la
derivada define la razón de cambio puntual (o instantáneo) en como el
límite de los cocientes de las variaciones de esas variables cuando la
variación de la variable independiente tiende a cero. En el caso de la función
de posición de un cuerpo físico con respecto al tiempo, la derivada corresponde
a la noción de velocidad instantánea, que así resulta definida como el límite
de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duración
tiende a cero. Las características de la derivada hacen de ésta el concepto adecuado
para la formulación de las leyes dinámicas en las ciencias naturales. Por otro
lado, para la curva en el plano cartesiano que define la gráfica de una
función, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto correspondiente, obteniéndose así una interpretación
geométrica para la derivada que sienta las bases para el estudio analítico de
curvas y superficies.Definición de derivada.
Consideremos una
función real de variable real definida en un intervalo abierto 
. Sea un elemento de. La manera natural de comparar la
variación que muestra el valor de la variable dependiente cuando el
valor de la variable independiente 
experimenta en una variación 
, es considerar el cociente
definida en un intervalo abierto . Sea un elemento de. La manera natural de comparar la
variación que muestra el valor de la variable dependiente cuando el
valor de la variable independiente experimenta en una variación , es considerar el cociente 
correspondiente a la variación de magnitud de la variable independiente se denota como 
.
Thank you sir
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