Historia y definición de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada.
En términos de la gráfica de la función para cada variación de la magnitud de la variable independiente con respecto a el valor inicial , el cociente diferecial es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos y . Así la derivada en el punto es el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto sobre la gráfica se toma cada vez más cercano al punto inicial .
En los términos geométricos anteriores, la derivada de en el punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto . Por lo contrario, el que la función no posea derivada en el punto significa que la curva que define la gráfica de la función no tiene recta tangente en el punto .
La derivada como razón de cambio.
La derivada de una función real de variable real es el concepto que da sentido matemático a la razón de cambio puntual o
movimiento instantáneo. Tomando en cuenta que, en una función, a cada variación
de la variable independiente con respecto a un valor , corresponde una
variación de la variable dependiente con respecto al valor , la
derivada define la razón de cambio puntual (o instantáneo) en como el
límite de los cocientes de las variaciones de esas variables cuando la
variación de la variable independiente tiende a cero. En el caso de la función
de posición de un cuerpo físico con respecto al tiempo, la derivada corresponde
a la noción de velocidad instantánea, que así resulta definida como el límite
de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duración
tiende a cero. Las características de la derivada hacen de ésta el concepto adecuado
para la formulación de las leyes dinámicas en las ciencias naturales. Por otro
lado, para la curva en el plano cartesiano que define la gráfica de una
función, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto correspondiente, obteniéndose así una interpretación
geométrica para la derivada que sienta las bases para el estudio analítico de
curvas y superficies.
Thank you sir
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